高等数学预备知识

一、函数的概念与特性

1、函数

2、反函数

3、复合函数

4、函数的四种特性及重要结论

二、函数的图像

直角坐标系下的图像

1、常见图像

2、图像变换

极坐标系下的图像

1、用描点法画常见图像

（1）心形线

（2）玫瑰线

（3）阿基米德螺线

（4）伯努利双纽线

2、用直角系观点画极坐标系下图像

三、常用基础知识

1、数列

（1）等差数列

首项为a1，公差为d（d≠0）的数列：

$$a_1,a_1+d,a_1+2d,···,a_1+(n-1)d,···$$

①通项公式：

$$a_n=a_1+（n-1）d$$

②前n项的和：

$$\begin{gathered} S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}[a_1+a_n] \\ \mathrm{如}：1+2+···+n=\frac{n(1+n)}{2} \end{gathered}$$

（2）等比数列⭐️

首项为a1，公比为r（r≠0）的数列：

$$a_1,a_{1}r,a_{1}r2,···,a_1{r}^{n-1},···$$

①通项公式：

$$a_n=a_1{r}^{n-1}$$

②前n项的和：

$$\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{的}\mathrm{和}{S}_n=\{\begin{array}{rlr}n{a}_1,& & r=1\\ \\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r},& & r\ne 1& & \mathrm{老}\mathrm{教}\mathrm{材}\mathrm{里}：\frac{\mathrm{首}\mathrm{项}(1-\mathrm{公}{\mathrm{比}}^n)}{1-\mathrm{公}\mathrm{比}}\end{array}$$

②常用

$$\begin{gathered} 1+r+r^2+···+r^{n-1}=\frac{1-r^2}{1-r}(r\ne 1) \\ \mathrm{若}|r|<1\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^{n-1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{1}{1-r} \\ \mathrm{故}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^{n-1}=\frac{1}{1-r}，|r|<1 \end{gathered}$$

（3）一些常见数列的前n项和

$$\begin{gathered} \mathrm{①}\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+···+n=\frac{n(n+1)}{2} \\ \mathrm{②}\sum _{k=1}^n{k}^2=1^2+2^2+3^2+···+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \mathrm{③}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{ \\ }3\times 4+···+\frac{1}{n(n+1)} \\ =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+···+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ =1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \\ \mathrm{即}：\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}（\mathrm{数}\mathrm{三}\mathrm{爱}\mathrm{考}） \end{gathered}$$

例题：

如：$a_n:a_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+···+\frac{1}{n^2},n=1,2,···,\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{收}\mathrm{敛}\mathrm{么}？$

考点：用到后面的单调有界准则：一个数列单调增有上界必收敛，单调减有下界必收敛？

分析：

①$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}>0\Rightarrow a_n\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{增}$

②$a_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+···+\frac{1}{n^2}$

$=\frac{1}{1\times 1}+\frac{1}{2\times 2}+···+\frac{1}{n\times n}<1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+···+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

$=2-\frac{1}{n}<2\Rightarrow a_n\mathrm{有}\mathrm{上}\mathrm{界}\mathrm{为}2$

故根据单调有界准则，{an}收敛。

2、三角函数

（1）三角函数基本关系

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }，\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }，\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }，\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }，\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1，1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha ，1+{\cot }^2\alpha ={\csc }^2\alpha$

（2）诱导公式

角θ	$\frac{\pi }{2}-\alpha$	$\frac{\pi }{2}+\alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{3}{2}\pi -\alpha$	$\frac{3}{2}\pi +\alpha$	$2\pi -\alpha$
函数	90°-α	90°+α	180°-α	180°+α	270°-α	270°+α	360°-α
sinθ	cosα	cosα	sinα	-sinα	-cosα	-cosα	-sinα
cosθ	sinα	-sinα	-cosα	-cosα	-sinα	sinα	cosα
tanθ	cotα	-cotα	-tanα	tanα	cotα	-cotα	-tanα
cotθ	tanα	-tanα	-cotα	cotα	tanα	-tanα	-cotα

$$\mathrm{小}\mathrm{结}=\{\begin{array}{rlr}\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )& =& \cos \alpha \\ \sin (\pi -\alpha )& =& \sin \alpha \\ \cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )& =& -\sin \alpha \\ \cos (\pi -\alpha )& =& -\cos \alpha \end{array}$$

（3）特殊的三角函数值

注：

（1）

（2）

（4）重要公式

①倍角公式

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2co{s}^2\alpha -1$

3、指数运算法则

4、对数运算法则

5、一元二次方程基础

6、因式分解公式

7、阶乘与双阶乘

①$n!=1·2·3·····n,\mathrm{规}\mathrm{定}0!=1$

②$（2n）!!=2·4·6·····（2n）=2^n·n!$

③$（2n-1）!!=1·3·5·····（2n-1）$

8、常用不等式

（1）设a、b为实数，则

①$|a\pm b|\le |a|+|b|$

②$||a|-|b||\le |a-b|$

a、b在0的同一侧时，可以取等号，同正同负时。

（2）$\sqrt[3]{abc}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}(a,b,c>0)$

（3）若$a>b>0$，则$\{\begin{array}{r}\mathrm{当}n>0\mathrm{时}，a^n>b^n,\\ \mathrm{当}n<0\mathrm{时}，a^n<b^n,\end{array}$

后面第二讲夹逼准则会用到

（4）若$0<a<x<b,0<c<y<d$，则$\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}$